Редактирование: История математики, теоретический минимум

 

Древний Египет. Что они умели: арифметика, например, 10х12=24+96=120.

Использовали дроби? Использовали, но только вида 1/n. Была таблица для представления дробей вида 2/n, как сумму аликвотных дробей.

Что умели в геометрии? Считать площадь треугольника, прямоугольника, трапеции, круга. Площадь круга --- (8/9 d)^2.

Имеется два основных источника о состоянии математики в древнем Египте: Лондонский папирус, содержащий 84 задачи и Московский папирус с 25 задачами. Лондонский папирус, известный еще как папирус Ринда (по имени открывшего его ученого) был написан около 1650 г. до н.э. и хранится в Британском музее. Московский папирус написан примерно двумя столетиями раньше. Он был расшифрован в 30-е годы XX века русским академиком В.В.Струве и хранится в Музее изобразительных искусств им. А.С.Пушкина. Изложенная в папирусах математика основана на десятичной иероглифической системе. Каждая десятичная единица более высокого разряда обозначалась своим иероглифом. Нам известна римская система, основанная на том же принципе. Здесь узловые числа суть

: I, V, X, L, C, D, M (1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000).

На этой системе египтянами построена довольно сложная арифметика. Умножение здесь сводится к повторным сложениям. Замечательной чертой является действие с дробями. Все дроби сводятся к суммам основных дробей 1/n и некоторых индивидуальных, например, 2/3, 3/4. Это делается на основе таблиц разложения дробей вида 2/n (n = 3-101). Египтяне знали площадь треугольника - половина произведения основания на высоту, объем параллелепипеда, кругового цилиндра. Замечательный результат - объем усеченной пирамиды с квадратным основанием где а, b - длины сторон квадратов, h - высота. Площади круга диаметра d вычислялась как что дает для p значение 3.1605.

 

Геометрические представления вавилонян. У них есть таблица пифагоровых чисел. Теорему Пифагора в чистом виде не знали, но на таблице есть. Умели вычислять зачатки выч. углов и тригонометрических соотношений. Вычисляли площади и объёмы прямолинейных фигур. Для площади круга была формула: c^2/12, где c --- длина окружности. Отсюда π=3. Есть основания полагать, что в Вавилоне была известна теорема Пифагора.

[[wikipedia:ru:Математика в Древней Греции]]

Постепенно сошла на нет значимость цивилизации Египта, Вавилона, и постепенно центр тяжести науки, культуры, развития цивилизации перемещался в Европу. К VII веку до н.э. Греция состояла из совокупности государств - полисов (городов), ведущих оживленную торговлю между собой и соседними государствами. Обычно это называется чудом Древней Греции. В это время в Греции высокого уровня достигли культура (напр. архитектура и скульптура), техника, наука. Большое развитие получила философия, астрономия, математика. Надежных источников, описывающих ранний период развития греческой математики нет. Однако наука располагает изданиями великих античных математиков: Евклида, Архимеда, Аполлония, живших позднее ( IV - II в. до н.э.).

Греки сумели в течение одного - двух столетий овладеть математическим наследием предшественников, которое накапливалось тысячелетиями, и по-новому его осмыслить. Что характерно для этого периода? Древние греки создали основы того, что сейчас называется элементарная математика. Что этому способствовало? Прежде всего, переход от бронзы к железу, развитие ремёсел, производства, потом появились деньги, что в значительной степени способствовало торговле, обмену. Не последнюю роль играл более удобный алфавит. Развитие алфавита --- возможность перемещения, обмена.

==[[wikipedia:ru:Милетская школа]]==

[[wikipedia:ru:Фалес Милетский]]

Характерной чертой греческой математики, в отличие от Египта и стран Востока, является стремление доказывать математические факты. С чьими именами связываем первые серьёзные достижения? Документально --- '''Фалес Милетский''' 624---547 год до н.э. Он многим удивлял своих современником. Вообще говоря, это был философ. Тогда не было понятия философ или биолог или астроном, и занимались всем интересным. Считал, что главное --- вода. Предсказал затмение, Вычислял высоту пирамиды по тени. Что самое главное: он формулировал математические утверждения и их доказывал. Вот в чём принципиальное отличие математики Древней Греции --- они отвечали не только на вопрос как, но и почему. Какие факты формализовывал и доказывал он:

* Диаметр делит круг пополам

* Вертикальные углы равны

* В равнобедренном треугольнике углы равны

* (Треугольники с равной стороной?) равны по двум углам

* Теорема Фалеса

Вот какие важные факты сформулировал и доказал он в 6 в. до н.э.

Хотел построить тоннель через гору Кастор. Что надо было сделть: в определённом месте начать рыть тоннель и в определённом месте выйти.

В математике этого периода практические задачи, связанные с вычислениями, геометрическими измерениями и построениями, продолжали играть большую роль. Эти задачи постепенно выделились в отдельную область математики, названную логистикой. Она включала операции с целыми числами и дробями, решение задач, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени, практические задачи архитектуры, земледелия и т.п.

Далее --- школа Пифагора Самосского. Это то, что уже считается классикой.

В то же время уже в школе '''Пифагора''' (580 - 500 г. до н.э.) начинается процесс накопления и систематизации абстрактных математических фактов. Пифагорийцы не признавали прикладного характера математики. Будучи аристократами они считали, что решение практических задач - удел лишь низших сословий.

Прежде всего, Пифагор искал основу всего сущего, и он считал таковой основой число. Не только чётные и нечётные, но и совершенные, дружественные (сумма делителей одного равна другому и наоборот, напр. 220 и 284). Пифагор обожествлял эти понятия и представления. И он считал, что с числами могут общаться только избранные. Какие ещё были числа: треугольные, квадратные.

Пифагорийцами была построена значительная часть планиметрии прямолинейных фигур, ''доказана'' теорема Пифагора (она получила имя основателя греческой школы, хотя была известна значительно раньше в Вавилоне). Был найден способ отыскания целых пифагоровых чисел, удовлетворяющих соотношению <math>a^2+b^2 = c^2</math> : для нечетных n они имеют вид

 

Для четных n пифагоровы числа были получены позже в Академии знаменитого греческого философа '''Платона''' (427 - 347 г до н.э.) и равны

Из арифметики была выделена в отдельную область теория чисел - все, что относится к общим свойствам операций с натуральными числами. Целые числа представлялись основополагающими универсальными объектами, к операциям с которыми должны сводится и все математические построения, и вообще все многообразие явлений действительности. “Все есть число и все из чисел” - руководящий принцип пифагорийцев. Из этого принципа следовало, что отношения между любыми количествами должны быть отношениями целых чисел (т.е. рациональными числами в современной терминологии).

 

Этому обожествлению целых чисел был нанесен сокрушительный удар самими же пифагорийцами. Оказалось, что отношение диагонали квадрата к его стороне ( равное <math>\sqrt 2</math> ) не является рациональным числом, т.е. отношением целых чисел. Этот факт был доказан путем сведения к противоречию. Действительно, пусть <math>\sqrt 2 = p/q</math> где p и q - взаимно простые. Тогда <math>p^2 = 2q^2</math> и p - четное, а, значит, q - нечетное. Но из того, что <math>p = 2r</math> следует <math>q^2 = 2r^2</math> , т.е. <math>q^2</math> , а следовательно и q четные.

 

В греческой математике возникла еще одна трудность, связанная с понятием бесконечности. Математики понимали, что за целым числом N следует целое число N+1, затем N+2 и так далее до бесконечности. К бесконечным процессам приводил и метод исчерпывания (предела), о котором речь будет идти ниже. Эта концепция была важным достижением, однако противоречила всем имеющимся тогда данным физики и философским воззрениям о конечности Вселенной. Она открывала новые широкие возможности в математике, но приводила к парадоксам. Смысл понятия бесконечности и до сих пор не раскрыт до конца, однако в течение веков на многие вопросы, возникающие в связи с этим понятием получен ответ.

Еще одна трудность связана с тем, что греки не знали отрицательных чисел. Они имели дело с отрицательными числами только в терминах алгебраических выражений для площадей квадратов и прямоугольников, например, квадрат раности. Отрицательные числа впервые использовались, по видимому, китайцами, однако окончательно вошли в математику после работ Кардано в 1545 году.

 

'''[[wikipedia:ru:Демокрит]]''' считал, что все тела состоят из атомов. Первым рассмотрел стереометрию; первым установил, что объём пирамиды и конуса равен соответственно одной трети объёма призмы и цилиндра под той же высотой и с той же площадью основания.

 

'''[[wikipedia:ru:Евдокс]]''' Метод исчерпывания - чтобы измерить площадь фигуры, надо последовательно вписывать аппроксимирующие фигуры (существование – через построение, единственность не рассматривалась). Общая теория отношений.

 

 

'''[[wikipedia:ru:Аристотель]]''' (384-322 до нэ) - любое движение может быть получено по окружности и прямой. Достижения в логике(аналогия, дедукция, индукция).

 

[[wikipedia:ru:Евклид]] -- см. след. билет

 

 

[[wikipedia:ru:Диофант]] -- Основное произведение Диофанта — Арифметика в 13 книгах. К сожалению, сохранились только 6 первых книг из 13. Бо́льшая часть труда — это сборник задач с решениями (в сохранившихся шести книгах их всего 189), умело подобранных для иллюстрации общих методов. Главная проблематика Арифметики — нахождение положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Рациональные числа трактуются Диофантом так же, как и натуральные, что не типично для античных математиков.

Сначала Диофант исследует системы уравнений 2-го порядка от 2 неизвестных; он указывает метод нахождения других решений, если одно уже известно. Затем аналогичные методы он применяет к уравнениям высших степеней.

 

 

 

* они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.

''Нормальная статья на [[wikipedia:ru:Начала Евклида|ру-википедии]]''

“Начала” состоят из 13 книг. В первых четырех книгах рассматривается геометрия на плоскости. В 5-ой и 6-ой книгах изложена теория отношений Евдокса и применена к подобию треугольников. Книги 7-9 посвящены теории чисел (теория делимости, алгоритм Евклида, теория простых чисел). В 10-й книге дана геометрическая классификация квадратичных и биквадратичных иррациональностей, т.е. чисел вида <math>\sqrt{a+\sqrt{b}}</math> . В последних трех книгах излагается геометрия в пространстве. Изложение завершается изучением правильных многогранников: тетраэдра(4 грани), куба (6), октаэдра (8), додэкаэдра (12) и икосаэдра (20). Доказывается, что их только пять. Они получили название платоновых тел и имели основополагаюшее значенние в космологии школы Платона.

Таким образом, в “Началах” систематизированы и строго изложены результаты, полученные математикой к III веку до н.э., включающие три важнейших открытия математики древности: теорию отношений Евдокса, теорию иррациональных Теэтета и терию пяти правильных тел.

 

Остановимся специально на аксиоматике “Начал”. Греки уже владели несколькими явными и несомненными истинами окружающего мира, такими как: две точки определяют прямую, прямую можно продолжить неограниченно в обе стороны, прямые углы равны, если к равным прибавить равные, получим снова равные. Эти аксиомы вошли в число аксиом и постулатов “Начал”, из которых Евклид вывел около 500 теорем. Особое место занимает аксиома о параллельных, согласно которой через точку вне заданной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную ей. Эта аксиома не поддается проверке опытом. Многие ученые делали попытку доказать ее как теорему, исходя из остальных девяти аксиом Евклида, но безуспешно. Лишь в XIX веке это утверждение было окончательно признано аксиомой.

[[wikipedia:ru:Математика исламского средневековья]]

Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия, механика, оптика.

В целом, эпоха исламской цивилизации в математических науках может быть охарактеризована не как эпоха поиска новых знаний, но — как эпоха передачи и улучшения знаний, полученных от греческих математиков. Типичные сочинения авторов этой эпохи, дошедшие до нас в большом количестве — это комментарии к трудам предшествеников и учебные курсы по арифметике, алгебре, сферической тригонометрии и астрономии. Некоторые математики стран ислама виртуозно владели классическими методами Архимеда и Аполлония, но новых результатов получено немного.

Арабская нумерация вначале была буквенной и, видимо, она финикийско-еврейского происхождения. Но с VIII века багдадская школа предложила индийскую позиционную систему, которая и прижилась.

 

 

 

 

 

 

'''Аль-Каши''' (XIII в.) Итерационные решения уравнений 2 степени. В «Трактате об окружности» ал-Каши вычисляет длину окружности по рецепту Архимеда — как среднее арифметическое между периметрами вписанного и описанного правильных многоугольников с числом сторон 3*2^28. Это дало ему приближение π = 3,14159265358979325, где неверна только последняя цифра 5, которую следовало бы заменить на 4.

 

 

 

Индийская нумерация изначально была изысканной. В санскрите были средства для именования чисел до 1050. Для цифр сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими.

 

 

 

Наибольшего успеха средневековые индийские математики добились в области теории чисел и численных методов. Использовали отрицательные числа (как долг). Комбинаторика. Суммирование рядов. Тригонометрия. В алгебре - еще один шаг к обобщению уравнений.

:[[wikipedia:ru:Абак (математика)]]

Абак — счётная доска, применявшаяся для арифметических вычислений приблизительно с IV века до н. э. в Древней Греции, Древнем Риме. Доска абака была разделена линиями на полосы, счёт осуществлялся с помощью размещённых на полосах камней или других подобных предметов.

Впервые появился, вероятно, в Древнем Вавилоне ок. 3 тыс. до н. э. Первоначально представлял собой доску, разграфлённую на полосы или со сделанными углублениями, обозначавшими порядки шестидесятиричной системы счисления. Счётные марки (камешки, косточки) передвигались по линиям или углублениям. В 5 в. до н. э. в Египте вместо линий и углублений стали использовать палочки и проволоку с нанизанными камешками.

 

Ацтекские счёты возникли приблизительно в X веке и изготавливались из зёрен кукурузы, нанизанных на струны, установленные в деревянной раме.

==== Греческий абак ====

Самая ранная информация об абаке в Греции относится к 5 веку до н.э. Он представлял собой панель из дерева или мрамора с камнями из дерева или металла. На острове Salamis в 1946 году раскопали абак 300 года до н.э. - древнейший абак из найденных до сих пор. Он представляет собой плиту из белого мрамора 149х75х4.5 см, на которой было 5 групп маркеров. В центре плиты располагались 5 параллельных прямых, пересечённых вертикальной прямой. Под этими линиями - трещина, а под ней - ещё 11 параллельных линий, снова пересечённых вертикальной прямой. Третий, шестой и девятый ряды помечены крестами.

==== Римский абак ====

Нормальным методом счёта в Древнем Риме, как и в Греции, было передвижение счётчиков по плитке. Изначально для этого использовались камешки "Calculi". Позже, в средневековой Европе стали производить специальные жетоны. Прямые разделяли единицы, пятёрки, десятки - как в римской системе счисления. В 1 веке до н.э. Гораций описывает восковой абак - доску, покрытую чёрным воском, на которой была нанесена разметка стилусом.

Одна из раскопок римских счёт относится к 1 веку н.э. Она содержит 8 длинных желобов для 5 бусин и 8 для 1 бусины. Они предназначались соответствена для отсчёта десятков и пятёрок. Таким образом, число 264 можно было представить как 2*100 + 1*50 + 1*10 + 0*5 + 4*1 -- почти как в римской системе.

=Логарифмы, логарифмическая шкала, логарифмические линейки. Непер, Гюнтер, Отред, Деламейн, Уатт, Ньютон=

[[wikipedia:Slide rule]], XVI-XVII века.

'''Зачем'''? Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую (исходн.) и арифметическую прогрессии, заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, а деление -- на неизмеримо более простое и надёжное вычитание.

===[[wikipedia:ru:Непер, Джон|Джон Непер]] (1550 – 1617)===

В 1614 опубликовал работу "Описание удивительных таблиц логарифмов" - логарифмы и тригонометрические функции(0-90 градусы,шаг 1 минута) с точностью до восьмого знака. Таблицу Непера составляли логарифмы тригонометрических функций. Прежде всего отдельную колонку составляли логарифмы синусов углов первой четверти, выбранных с интервалом 1 минута. Они давали и значения логарифмов косинусов (как синусов дополнительных углов). В специальной колонке под названием "разности" приведены разности логарифмов дополнительных углов, т.е. логарифмы тангенсов. Неперу было известно, что логарифмы обратных тригонометрических функций получаются просто изменением знака.

1617 - проф. '''Бриг''' из Лондона, 8-значные таблицы чисел от 1 до 1000. Затем он же логарифмы - от 1 до 20000, 80000-100000.

===[[wikipedia:ru:Edmund Gunter|Эдмунд Гюнтер]] (1581 – 1626)===

Оксфорд. Разработал логарифмическую шкалу, явившуюся первым вариантом широко ныне распространенной логарифмической линейки. Он же, а кроме него Кеплер и другие ученые, составлял таблицы логарифмов чисел и тригонометрических функций, как десятичные так, и натуральные, и широко использовал их в астрономии. В 1624 некий '''Edmund Wingate''' опубликовал его результаты в Париже. На дощечке наносил логарифмы чисел, затем измерительным циркулем мерял расстояния - разности и суммы.

 

 

 

 

 

 

Он также ввёл термин "натуральный логарифм" - хотя его основание далеко не натурально.

 

=== Ферро и Тарталья ===

 

Ферро думал над решением уравнения третьей степени х^3 + ax = b, a, b > 0. (Glider: википедия говорит, что он даже научился их решать (и это правда по Рыбникову.))

 

Никколо Тарталья (итал. Niccolò Fontana Tartaglia, 1499—1557) . Когда французы входили в Болонию, то осколком разрыва его ранило в гортань, и он стал заикаться. Тарталья в переводе и есть заика. =)

Он был сыном довольно бедного человека, что даже в школе учился только очень недолго и в самых начальных классах. И деньги кончились очень быстро. И тем не менее он продолжал самообразование, и стал в результате довольно известным человеком во многих сферах. В частности, Тарталья изучал уравнения третьей степени.

Также он интересовался математическими проблемами, в частности, решением кубического уравнения. И в Италии был соревновательный дух. И было так: два человека вызывали друг друга на дуэль (математическую), в присутствии кучи людей. И каждый выдавал друг другу задачи, и кто больше задач решил, тот победил. И если решить на n задач меньше, то n человек из группы поддержки могли обедать у противоположной стороны.

Фиоре вызвал Тарталью на дуэль, дал 30 задач того же типа (все!). В общем, он их все решил. И победил. Фиоре не решил одну из задач. =)

Метод Тартальи, как, по-видимому, и метод Ферро, состоял в подборе подходящей формы алгебраической иррациональности уравнений указанного выше вида. Предположив, что x = u^1/3 - v^1/3, подставив это выражение в уравнение и положив p = 3(uv)^1/3 он получил систему: u - v = q; uv = p^3/27 и нашел u и v интерпретируя их как корни квадратного уравнения.

Это не то же самое, чем если бы было с переносом слагаемых в другую часть - отрицательных чисел не было. Общих формул тоже не было (для произвольных коэффициентов).

Тарталья известен формулой для площади произвольного тетраэдра (формула Тартальи). Он установил, что она равна определителю Кейлера-Менгера от попарных расстояний между вершинами:

:<math> V^2 = \frac{1}{288} \det \begin{bmatrix}

0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & d_{14}^2 & 1 \\

d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & d_{24}^2 & 1 \\

d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & d_{34}^2 & 1 \\

d_{41}^2 & d_{42}^2 & d_{43}^2 & 0 & 1 \\

1 & 1 & 1 & 1 & 0

\end{bmatrix} </math>

Это обобщение Формулы Герона для площади треугольника.

Кроме того, он вычислил биномиальные коэффициенты методом треугольника Тартальи (он же треугольник Паскаля).

=== Кардано ===

*[[wikipedia:ru:Кардано]]

Кардано ввел регулярный способ сведения полного кубического уравнения ax^3+bx^2+cx+d=0 к виду, в котором отсутствует член с квадратом неизвестного, с помощью подстановки x=x1+h и распространил его на уравнения 4-й степени. Также в его книге высказано много теорем о взаимозависимости корней и коэффициентов: о положительных и отрицательных (называя их "фиктивными") корнях, об их сумме и другие теоремы, например: если в уравнении все члены, стоящие в левой части, имеют степень большую, чем степени членов в правой части, то уравнение имеет один и только один положительный корень. Наконец, Кардано показал делимость алгебраического полинома Pn(x) на x-x1, где x1 - корень уравнения Pn(x) = 0. Кардано также включил в свою книгу и метод решения уравнений 4-й степени путем сведения задачи к кубической резольвенте, открытый его учеником Феррари.

Разработал карданный вал.

=== Виет ===

Важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет. Он окончательно сформулировал символический метаязык арифметики — буквенную алгебру. С её появлением открылась возможность проведения исследований невиданной ранее глубины и общности. В своей книге «Введение в аналитическое искусство» Виет показал примеры мощи нового метода, найдя знаменитые формулы Виета. Умел раскладывать sin и cos kx через sin и cos. Формулы для синуса и косинуса суммы.

1637 - публикация труда "Геометрия". Сформулировал понятие переменной величины и сказал о понятии прямоугольной системе координат. Переменная величина - в 2х видах.

Декарт утверждал, что природой материи является ее трехмерная объемность; важнейшими свойствами ее - делимость и подвижность. Эти же свойства материи должна отображать математика. Последняя не может быть либо численной, либо геометрической. она должна быть универсальной наукой, в которую входит все, относящееся к порядку и мере. В основу "Геометрии" Декарта положены две идеи: введение переменной величины и использование переменных (декартовых) координат. В согласии с его унифицирующей тенденцией, переменная величина вводится в двоякой форме: в виде текущей координаты точки, движущейся по кривой, и в виде переменного элемента множества чисел, соответствующих точкам данного координатного отрезка.

Для полинома с целыми коэффициентами Декарт сделал глубокий вывод, что число корней уравнения равно числу единиц в наивысшем показателе степени х. Декарт показал, что уравнение имеет столько положительных корней, сколько знакоперемен в ряду коэффициентов, и столько отрицательных - сколько повторений знака.

Замечательной по глубине замысла является постановка проблемы приводимости, т.е. представления целой рациональной функции с рациональными коэффициентами в виде произведения таких же функций. Декарт показал, что уравнение 3-й степени решается в квадратных радикалах (с помощью циркуля и линейки), лишь если оно приводимо. Вопрос о приводимости уравнения 4-й степени он свел к вопросу о приводимости его кубической резольвенты.

Современник Декарта. Образование юридическое. Тоже неотрицательные числа; применял некоторые преобразования (сдвиг и поворот) - это то, что его отличало от Декарта.. и это позволяло приводить уравнения к каноническому виду.

Вводит метод координат, аналогичный Декартовому. Выводит уравнения прямой, окружности и всех конических сечений. По сути "Введение" Ферма также круто как и "Геметрия" Декарта, но вышло позже ввиду лени Ферма публиковаться и было написано тяжеловесным языком алгебры Виета, что затрудняло понимание.

Работал над общей теорией диофантовых уравнений второй степени (ax^2+bxy+сy^2+dx+ey+f=0, a, b, ... целые числа).

Ферма, Кавальери, Паскалем были разработаны методы квадрирования площадей, ограниченных кривой вида y=x^n, абсциссой и двумя ординатами. Они также создавали анализ бесконечно малых (+Кеплер).

Ну про него мы и так всё знаем... Для тех кто не помнит:

 

Ученик Галилея. Монах. Увлекался математикой (странно...). Необразованный монах, поэтому изобретал велосипед, причём не один раз. И теория у него была - теория неделимых. Есть материя в пространстве - пусть камень. Короче, заключал n-мерное тело в m k-мерных, где k<n. Опять считал объёмы.

Пытался уточнить определенное интегрирование. Смысл состоит в том, что он сумму всех неделимых понимал как сумму элементарных площадок, образуемых бесконечно близкими одинаково отстоящими друг от друга ординатами, ограниченным отрезком оси абсцисс и кривой. Для Лейбница треугольник Паскаля полсужил прообразом дифференциального треугольника, составленного из дифференциалов dx, dy, dz.

Машина Шиккарда состояла из трех частей: суммирующее устройство, множительное и механизм для записывания промежуточных результатов. Первое из них представляло раннюю разновидность арифмометра, построенного на принципе использования зубчатых передач. На параллельных осях (их было 6) насаживались по одной десятизубой и однозубой шестерне. Последняя служила для того, чтобы передать шестерне следующего разряда толчок, поворачивающий ее на 0,1 оборота, после того как предыдущая шестерня сделает полный оборот. Техническое оформление машины позволяло видеть в окошках, какое число набрано в качестве первого слагаемого (или уменьшаемого) и последующие результаты, вплоть до итогового. Вычисление не представляло при этом затруднений. Для деления рекомендовалось повторное вычитание делителя из делимого. Умножение: на 6 параллельных осей насаживались цилиндры, на каждый из которых наворачивалась таблица умножения. Перед цилиндрами устроена панель с девятью рядами окошек, каждый ряд открывается и закрывается специальной фигурной задвижкой. Третья часть машины состояла из шести барабанчиков с нанесенными на них цифрами: 1, 2, ..., 9, 0 и соответственно из панели с шестью окошками. Поворотом барабанов в окошках фиксировалось число, которое вычислителю надо запомнить.

Магистр, профессор Кэмбриджа, был избран членом, а в последствии и президентом Лондонского королевского общества (аналог АН).

Достижения: вывод и формулировка основных законов классической механики, и далее по тексту.

Флюксией Ньютон называл производную, а флюэнтой - первообразную.

В методе флюксий изучаются переменные величины, вводимые как абстракции различных видов непрерывного механического движения. Называются они флюентами, т.е. текущими, от латинского fluente - течь. Все флюенты являются зависимыми переменными; они имеют общий аргумент - время. Точнее, речь идет о математическом. абстрагированном аналоге времени - некой воображаемой абстрактной равномерно величины, к которой отнесены флюенты. Далее приводятся скорости течения флюент, т.е. производные по времени. Названы они флюксиями. Так как флюксия представляет собой переменную, то можно вводить флюксию от флюксии и т.д. Для вычисления мгновенных скоростей - флюксий потребовались бесконечно малые изменения флюент, названные ньютоном моментами. По существу момент флюенты - это ее дифференциал. В теории флюксий решаются две главные задачи, сформулированные как в механических так и в математических терминах:

1) Определение скорости движения в данный момент времени по заданному пути. Иначе: определение соотношения между флюксиями из заданного соотношения между флюентами.

2) По заданной скорости движения определить пройденный за данное время путь. В математических терминах: определить соотношение между флюентами по заданному соотношению между флюксиями.

Первая задача - задача дифференцирования, вторая - задача интегрирования.

В математическом плане лейбницево дифференциальное исчисление складывалось в общих чертах из следующих посылок:

1) задачи суммирования рядов;

2) решение задач о касательных, характеристический треугольник Паскаля и постепенный перенос соотношений между конечными элементами на произвольно, а затем и бесконечно малые;

3) обратные задачи на касательные, суммирование бесконечно малых разностей, открытие взаимообразности дифференциальных и интеграционных задач.

Начал классифицировать кривые по степени. Занимался анализом бесконечно малых.

Эйлеру принадлежат открытия во всех областях современной ему математики, математической физики и механики. В своих работах по математическому анализу он заложил основы ряда математических дисциплин. Так, он положил основания теории функций комплексного переменного, теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Явился создателем вариационного исчисления и многих приемов интегрирования.

Эйлер внес большой вклад в алгебру и теорию чисел, где его результаты являются классическими и известны в науке под названием формул и теорем Эйлера.

Используя специально подобранную символику, Эйлер облегчил язык математики, сделал ее более обозримой и более доступной. Он, например, ввел сокращенные обозначения тригонометрических функций угла х: tg x, ctg x, sec x, cosec x (обозначения sin x и cos x : были введены И. Бернулли).

Эйлер установил современную точку зрения на тригонометрические функции как функции числового аргумента. В трудах Эйлера тригонометрия приняла тот вид, который она имеет в настоящее время.

В ходе работ над созданием вычислительных машин, сделал большой прогресс в металлообработке. Сконструировал поперечно-строгальный и токарно-револьверный станки, придумал методы изготовления зубчатых колес. Предложил новый метод заточки инструментов и литья под давлением.

Бэббидж сформулировал принципы вычисления таблиц разностным методом при помощи машины, которую он впоследствии назвал разностной. Эта машина должна была производить комплекс вычислений, используя только операцию сложения. В 1819 году Чарльз Бэббидж приступил к созданию малой разностной машины, а в 1822 году он закончил её строительство и выступил перед Королевским Астрономическим обществом с докладом о применении машинного механизма для вычисления астрономических и математических таблиц. Он продемонстрировал работу машины на примере вычисления членов последовательности. Работа разностной машины была основана на методе конечных разностей. Малая машина была полностью механической и состояла из множества шестерёнок и рычагов. В ней использовалась десятичная система счисления. Она оперировала 18 разрядными числами с точностью до восьмого знака после запятой и обеспечивала скорость вычислений 12 членов последовательности в 1 минуту. Малая разностная машина могла считать значения многочленов 7-ой степени.

Принцип работы: [[wikipedia:Difference_engine#Method_of_differences]]

=Аналитическая машина Бэббиджа=

Аналитическая машина (принцип - зубчатые передачи): (по лекциям Вали)

[[Изображение:Difference_Engine_No_2.JPG|240px|thumb|Фотография Дифференциальной Машины №2 (Difference Engine No 2). Машина была собрана по чертежам аналитической машины Ч. Бэббиджа в 1991 году специалистами лондонского музея науки. На сборку ушло 6 лет. (30 января 2008 года, Автор - SLenik (www.slenik.net)]]

Архитектура современного компьютера во многом схожа с архитектурой аналитической машины. В аналитической машине Бэббидж предусмотрел следующие части: склад (store), фабрика или мельница (mill), управляющий элемент (control) и устройства ввода/вывода информации.

Склад предназначался для хранения как значений переменных, с которыми производятся операции, так и результатов операций. В современной терминологии это называется памятью.

Мельница (арифметико-логическое устройство, часть современного процессора) должна была производить операции над переменными, а также хранить в регистрах значение переменных, с которыми в данный момент осуществляет операцию.

Третье устройство, которому Бэббидж не дал названия, осуществляло управление последовательностью операций, помещение переменных в склад и извлечение их из склада, а также выводом результатов. Оно считывало последовательность операций и переменные с перфокарт. Перфокарты были двух видов: операционные карты и карты переменных. Из операционных карт можно было составить библиотеку функций. Кроме того, по замыслу Бэббиджа, Аналитическая машина должна была содержать устройство печати и устройство вывода результатов на перфокарты для последующего использования.

Для создания компьютера в современном понимании оставалось лишь придумать схему с хранимой программой, что было сделано 100 лет спустя Эккертом, Мочли и Фон Нейманом.

1815-1852. Дочь лорда Байрона. Присутствовала на презентации разностной машины Бэббиджа. Перевела на английский статью о аналитической машине Бэббиджа. Снабдила ее комментариями относительно алгоритма и программы вычислений.В числе прочего она сообщила Бэббиджу, что составила план операций для аналитической машины, с помощью которых можно решить уравнение Бернулли, которое выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости. подпрограмма и библиотека подпрограмм, модификация команд и индексный регистр, которые стали употребляться только в 50-х годах XX века. Сам термин «библиотека» был введён Бэббиджем, а термины «рабочая ячейка» и «цикл» предложила Ада Лавлейс. Считала, что машина может вычислить многое, если ей задать способ вычисления.

=[[wikipedia:ru:неевклидова геометрия|Неевклидова геометрия]] и [[wikipedia:ru:Николай Лобачевский|Николай Лобачевский]] (1792 — 1856)=

'''Что это'''? Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Постулат Лобачевского: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

 

'''Зачем'''? Ещё со времен Евклида много математиков пыталось доказать некоторые аксиомы Евклида для того, чтобы уменьшить их количество. На кой? Х.з., наверно, это покажет, что мир устроен ещё проще, чем на самом деле. Лобачевский исходил из попытки доказать 5 постулат евклида. Также, считает аксиому параллельности Евклида произвольным ограничением. С его точки зрения, это требование слишком жёсткое, ограничивающее возможности теории, описывающей свойства пространства. В общем, у него ни хрена не получилось и он, посрав на всё, решил сделать аксиомой обратное утверждение: "через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её" или назвал его своим постулатом.))

 

 

 

 

Для бесконечно малых размеров его геометрия превращается в евклидову. Евклидова геометрия может быть из нее получена предельным переходом (при стремлении кривизны пространства к нулю). В самой геометрии Лобачевского кривизна отрицательна.

 

'''Кому пригодилось'''? Первой интерпретацией геометрии Лобачевского можно считать результаты Бельтрами, касающиеся задачи картографии: отобразить поверхность на плоскость таким образом, чтобы все геодезические линии на поверхности изображались прямыми на плоскости. Но эта интерпретация оказалась неполной. Применение его геометрии нашла Бельтрани(траектрисса, псевдосфера), Клейн. Полным доказательством непротиворечивости геометрии Лобачевского является модель Клейна.

 

Большинство работ Остроградского относились к области механики, математической физики и связанных с ними проблем математического анализа. Кроме того он оставил после себя первоклассные работы по алгебре, теории чисел и теории вероятностей.

Решил задачу о распространении волн на поверхности жидкости в цилиндрическом бассейне, позже решил ту же задачу для бассейна, имеющего форму кругового сектора. Дал оригинальный вывод уравнения Пуассона, развил метод Фурье для твердых тел в общей форме, впервые дал строгое решение задачи о распространении тепла в жидкости.

В мат анализе - формула Остроградского, ее обобщение на случай n-кратного интеграла, формула дифференцирования кратного интеграла по параметру.

Доказал, что алгебраический интеграл от рациональной функции может быть только рациональной функцией. Интеграл от алгебраической функции не может содержать ни показательных, ни тригонометрических функций. Найден способ отделения алгебраической части интеграла от рациональной дроби.

Буняковский в работах по теории чисел доказал квадратичный закон взаимности, решил ряд задач диофантова анализа.

Король математиков. В 3-летнем возрасте нашёл у отца ошибку в рассуждениях. Страсть как любил считать. Всё и вся. В 19 лет защитил докторскую диссертацию, в которой доказал основную теорему алгебры, не ссылаясь на то, что корни существуют. Лет через 20 доказал другим способом (более просто). А гордился он решением одночленных уравнений в комплексной плоскости. Построил 17угольник =) На пару с Коши ввели и обосновали операции над числами a +- bi, ввели термин "комплексное число", нашли "норму" (Гаусс) или "модуль" (Коши), определили понятие сопряженности комплексных чисел. Создал общую теорию квадратичных форм.

Писал работы, отсылал, рецензий нет. Пуассон задвинул Галуа, Абеля - Коши. "Мы не нашли там ни одной разумной мысли". Пытался найти формулу для решения уравнений выше 4й степени. Отрицательный результат - может быть тоже положительным результатом... Доказал, что не существует общих формул для нахождения общих решений выше 4 для произвольных уравнений. Признак сходимости рядов Абеля. Интегрировал сложные функции, теория эллиптических и гиперэллиптических интегралов. Этой проблемой занималась ещё Ковалевская потом, на основе результатов Абеля. Он поправил Коши - в критерии равномерной сходимости. Всегда был беден, занимался частными уроками... Доказал, что если уравнение алгоритмически разрешимо, то его корню всегда можно дать такой вид, что все алгебраические функции, из которых он составляется, выражаются через рациональные функции корней данного уравнения.

Галуа доказал, что для всякого уравнения Pn(x)=0 можно в той же области рациональности найти некоторое уравнение Q(x) = 0, называемое нормальным. Корни исходного и нормального уравнения выражаются друг через друга нормально. Нормальное уравнение - это уравнение, обладающее тем свойством, что все его корни рационально выражаются через один из них и элементы поля коэффициентов. Все подстановки корней нормального уравнения образуют группу G. Это и есть группа Галуа уравнения Q(x), или, что то же самое Pn(x)=0. Она обладает замечательным свойством: любое рациональное соотношение между корнями и элементами поля R инвариантно относительно подстановок группы G. Таким образом Галуа связал с каждым уравнением группу подстановок его де корней. Он же ввел термин "группа" - адекватное современному. Чтобы разрешимость уравнения в радикалах имела место, необходимо и достаточно, чтобы соответствующая группа Галуа была разрешима.

Доказал теоремы существования для дифференциальных уравнений с учетом условий начального состояния (задачи Коши). Доказал то же для линейной системы уравнений с частными производными, указав способ приведения к этому виду нелинейной системы.

Развивал теорию вычетов не претендуя на приоритет перед Эйлером. В работах Коши впервые появилась интегральная формула.

Он преподавал богословие в Чехии. С точки зрения властей был очень неблагонадёжен. В конце концов его попросили со службы, и он удалился в деревню, где занимался математикой. И именно поэтому он не очень известен. В 1817 году доказал первые серьёзные теоремы. Дал строгое определение непрерывности; односторонней непрерывности; свойства её. В 1830 году Больцано построил пример функции, которая непрерывна, но нигде не дифференцируема - в пику Амперу. Если функция непрерывна, то ряд Фурье не обязан сходиться! Но вот построить такую функцию... пример Фейера, пример Колмогорова. Опередил Вейерштрасса, доказав теорему, что если множество вещественных чисел ограниченно сверху (соответсвенно, снизу), то оно имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. Вывел критерий сходимости последовательностей. Доказал, что непрерывная функция принимает все промежуточные значения, лежащие между двумя ее различными значениями.

Обобщил теорему Коши о разложении в степенной ряд функции комплексного переменного, непрерывной и дифференцируемой в кольце, образованном двумя коническими окружностями.

Опроверг формулу Лежандра.

Родился в Рязани, долгое время работал в Петербурге. Внес большой вклад в теорию вероятностей и математический анализ. В честь Маркова названы цепи Маркова и неравенство Маркова. Аппарат марковских цепей был позже обобщен Колмогоровым. Цепи Маркова и скрытые марковские модели широко используются в CS.

Развил метод моментов.

Развивал метод характеристических функций.

Доказала существование единственного аналитического решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными производными. Нашла, независимо от Коши, линейное преобразование аргументов, приводящее уравнение к нормальной форме. Нашла более высокую степень приближения по сравнению с решением Лапласа, что позволило ей утверждать, что кольца Сатурна в сечении имеют не эллиптическую (по Лапласу), а яйцевидную форму. Ей были найдены условия приведения ультра эллиптического интеграла, содержащего полином восьмой степени, к эллиптическому интегралу первого рода. Ковалевская установила, что уравнения движения твердого тела около неподвижной точки в общем случае не имеют однозначных решений с пятью произвольными постоянными и на всей комплексной плоскости в качестве особых точек содержат только полюса. Затем она нашла, что в некоторых случаях все элементы движения могут выражать через эллиптические функции от времени t. Первые два случая разрешили Эйлер и Пуансо (1), Лагранж (2). Третий случай разрешила сама К., когда центр тяжести тела лежит на плоскости экватора эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки, служащего эллипсоидом вращения и удовлетворяющего условию A=B=2C (А,В,С - главные моменты инерции)

В 1946 году группа учёных во главе с Джоном фон Нейманом (Герман Голдстайн, Артур Беркс) опубликовали статью «Предварительное рассмотрение логической конструкции Электронно-вычислительного устройства». В статье обосновывалось использование двоичной системы для представления данных в ЭВМ (преимущественно для технической реализации, простота выполнения арифметических и логических операций. До этого машины хранили данные в десятеричном виде), выдвигалась идея использования программами общей памяти. Имя фон Неймана было достаточно широко известно в науке того времени, что отодвинуло на второй план его соавторов, и данные идеи получили название «Принципы фон Неймана».

# '''Принцип использования двоичной системы счисления для представления данных и команд'''.

# '''Принцип программного управления'''.

#* Программа состоит из набора команд, которые выполняются процессором друг за другом в определенной последовательности.

# '''Принцип однородности памяти'''.

#* Как программы (команды), так и данные хранятся в одной и той же памяти (и кодируются в одной и той же системе счисления — чаще всего двоичной). Над командами можно выполнять такие же действия, как и над данными.

# '''Принцип адресуемости памяти'''.

#* Структурно основная память состоит из пронумерованных ячеек; процессору в произвольный момент времени доступна любая ячейка.

# '''Принцип последовательного программного управления'''

#* Все команды располагаются в памяти и выполняются последовательно, одна после завершения другой.

# '''Принцип условного перехода'''.

#* Сам принцип был сформулирован задолго до фон Неймана Адой Лавлейз и Чарльзом Бэббиджем, однако он добавлен в общую архитектуру.

Компьютеры, построенные на этих принципах, относят к типу фоннеймановских.

У нас были академики Андрей Ершов, Лебедев. Они строили БЭСМ. Лев Королёв писал для неё ОС.

Интуициони́зм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением, которое достигло многих существенных результатов, в том числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

=== Критика классической математики ===

Отдельные черты интуиционизма можно проследить ещё в античной математике, а позднее в высказываниях таких учёных, как [[Гаусс, Карл Фридрих|Гаусс]], [[Кронекер, Леопольд|Кронекер]], [[Пуанкаре, Анри|Пуанкаре]], [[Лебег]], [[Борель, Эмиль|Э.Борель]]. Однако в своём современном виде интуиционизм возник как результат критического пересмотра основ классической математики, проведённого начиная с [[1907]] года [[Брауэр, Лейтзен Эгберт Ян|Л. Э. Я. Брауэром]].

В основе критики Л. Э. Я. Брауэра лежит вопрос о природе [[математический объект|математических объектов]] и суждений о них. Так, естественно представить, что произвольное [[натуральное число]] может быть построено в виде последовательного ряда однородных предметов, например, ряда [[точка (геометрия)|точек]]. Столь же естественно представить, что, построив некоторое натуральное число, можно построить затем и следующее, добавив к уже построенному ещё одну точку. Поэтому природа натуральных чисел является интуитивно ясной. Однако наряду с такими объектами в классической математике рассматриваются и объекты с интуитивно неясной природой, например, «[[множество всех натуральных чисел]]» и «[[Мера_Лебега#.D0.9F.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.B5.D1.80_.D0.BD.D0.B5.D0.B8.D0.B7.D0.BC.D0.B5.D1.80.D0.B8.D0.BC.D0.BE.D0.B3.D0.BE_.D0.BC.D0.BD.D0.BE.D0.B6.D0.B5.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0|множество, неизмеримое по Лебегу]]». С ними не связывается никакого способа их мысленного построения, и потому их действительное существование представляется сомнительным.

Одним из источников возникновения такого рода «монстров» в классической математике являются ''[[Теорема чистого существования|теоремы чистого существования]]'', в которых наличие искомого объекта утверждается лишь на основе формального опровержения гипотезы о его невозможности. Иначе говоря, фундамент таких теорем составляет представление об абсолютной непогрешимости законов классической логики.

Это представление также стало одной из мишеней критики Брауэра. С его точки зрения, законы [[Классическая логика|классической логики]] возникли в результате рассмотрения конечных совокупностей, при работе с которыми доказательство чистого существования заведомо может быть дополнено эффективным способом построения искомого объекта — полным перебором. При переходе же к рассмотрению бесконечных совокупностей эти законы становятся недостоверными, поскольку полного перебора таких совокупностей мы провести уже не можем.

В качестве простейшего примера рассмотрим следующую теорему чистого существования:

: ''«для любого вещественного числа <math>x</math> найдётся натуральное число <math>n</math>, равное <math>1</math> в случае <math>x=0</math>, и равное <math>2</math> в случае <math>x\neq 0</math>»''

Признать такое число <math>n</math> действительно существующим мы могли бы лишь в том случае, если бы умели сравнивать произвольное [[вещественное число]] <math>x</math> с нулём, чего, однако, мы делать не умеем. Действительно, число <math>x</math> на деле задаётся некоторой [[бесконечная последовательность|бесконечной последовательностью]] рациональных чисел <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math>. Эффективным способом сравнения числа <math>x</math> с нулём был бы лишь такой, который позволял бы производить это сравнение на основе просмотра некоторого конечного (пусть и очень большого) набора чисел <math>x_k</math>. Однако такое рассмотрение не позволяет надёжно установить верность равенства <math>x=0</math>.

Аналогичные трудности возникают при попытках прояснения статуса существования многих других объектов классического анализа, например, точек [[экстремум]]а [[непрерывная функция|непрерывной функции]] на [[отрезок|отрезке]], нулей знакопеременных непрерывных функций на отрезке и т. д. Никакого способа эффективного построения указанных объектов в нашем распоряжении не имеется.

Такая критика классической математики не связана непосредственно с [[антиномия]]ми [[теория множеств|теории множеств]]. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает.

Логицизм — одно из направлений в основаниях математики, ставящее целью обосновать математику путем сведения ее исходных понятий к понятиям логики.

Мысль о сведении математики к логике высказывалась Лейбницем в конце 17 в. Практическое осуществление логицистического тезиса было предпринято в конце 19 — начале 20 вв. в работах Фреге, Уайтхеда и Рассела . Взгляд на математику как на часть логики обусловлен тем, что любую математическую теорему в аксиоматической системе можно рассматривать как некоторое утверждение о логическом следовании. Остается только все встречающиеся в таких утверждениях константы определить через логические термины. К концу 19 в. в математике различные виды чисел, включая комплексные, были определены в терминах натуральных чисел и операций над ними. Попытка сведения натуральных чисел к логическим понятиям была предпринята Г. Фреге. В интерпретации Г. Фреге натуральные числа были кардинальными числами некоторых понятий. Однако система Фреге не свободна от противоречий. Это выяснилось, когда Рассел обнаружил противоречие в канторовой теории множеств (см. парадокс Рассела), пытаясь свести ее к логике. Обнаруженное противоречие побудило Рассела к пересмотру взглядов на логику, которую он сформулировал в виде теории разветвленных типов. Однако построение математики на основе теории типов потребовало принятия аксиом, которые неестественно считать чисто логическими. К ним относятся, например, аксиома бесконечности, которая утверждает, что существует бесконечно много индивидов, то есть объектов наинизшего типа.

В целом попытка сведения математики к логике не удалась. Как показал Гёдель, никакая формализованная система логики не может быть адекватной базой математики.

Формализм. идеологом является Гильберт

Все математические понятия и теоремы - символы и действия над этими символами, чисто формальными. Главный тезис - полнота и непротиворечивость, всё должно быть построено на чоткой аксиоматической основе, все выводы должны следовать чисто формально, не задумываясь о смысле выводимого, но если они выполняются, если нарушения в использовании аксиом нет, если все действия признаны допустимыми - то выводы правильны. Главное - полнота и непротиворечивость. Полнота и непротиворечивость, парни, полнота и непротиворечивость!