Редактирование: Определения из теории вероятностей

= <math>\sigma</math>-алгебра =

Совокупность A подмножеств множества <math>\Omega</math> называется <math>\sigma</math>-алгеброй:

* <math>\Omega \in A</math>

* <math>A_l \in A, l = 1,2</math>, то <math>\Sigma_{l=1}^{\inf}A_l \in A</math>

* если <math>B \in A</math>, то <math>\overline{B} \in A</math>

Определение случайной величины различно для 2-х случаев: <math>\Omega</math> -- счетное или не счетное

'''Случайная величина''' — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве.

'''Случайная величина''' -- это функция, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega = \{\omega_1, ... , \omega_n\}</math>.

==Определение==

Пусть <math>(\Omega,\mathcal{F}, \mathbb{P})</math> — вероятностное пространство. Функция <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math>, измеримая относительно <math>\mathcal{F}</math> и борелевской σ-алгебры на <math>\mathbb{R}</math>, называется случайной величиной.

Вероятностное поведение случайной величины полностью описывается её распределением.

==Определение==

Случайной величиной называется функция <math>X = X(\omega)</math>, заданная на пространстве элементарных событий <math>\Omega</math>, для которой событие {X < x} = <math>\{ \omega: X(\omega) < x \}</math> принадлежит <math>\sigma </math>-алгебре A для любого вещественного X.

* Р(А)>=0 для любого <math>A \in X</math>

* обладает свойством сигма-аддитивности (счетной аддитивности) .

= Распределение вероятностей =

''' Закон распределения случайной величины X ''' -- соответствие. которое каждому значению <math>x_l</math> дискретной случайной величины X сопоставляет его вероятность <math>p_l</math>.

'''Распределение вероятностей''' — это закон, описывающий область значений случайной величины и вероятности их принятия.

== Определение ==

'''Определение ''' Пусть задано вероятностное пространство <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})</math>, и на нём определена случайная величина <math>X:\Omega \to \mathbb{R}</math>. В частности, по определению, <math>X</math> является измеримым отображением измеримого пространства <math>(\Omega, \mathcal{F})</math> в измеримое пространство <math>(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))</math>, где <math>\mathcal{B}(\mathbb{R})</math> обозначает борелевскую сигма-алгебру на <math>\mathbb{R}</math>. Тогда случайная величина <math>X</math> индуцирует вероятностную меру <math>\mathbb{P}^X</math> на <math>\mathbb{R}</math> следующим образом:

:<math>\mathbb{P}^X(B) = \mathbb{P}(X^{-1}(B)),\; \forall B\in \mathcal{B}(\mathbb{R}).</math>

Мера <math>\mathbb{P}^X</math> называется '''распределением''' случайной величины <math>X</math>.

= Случайная выборка =

'''Случайной выборкой объема <math>n</math>''', отвечающей случайной величине <math>X</math>, c функцией распределения <math>F(x)</math>, называется набор <math>n</math> независимых случайных величин <math>X_1, X_2, ..., X_n</math>, каждая из которых имеет распределение <math>F(x)</math>

{{Курс МОТП}}