ГОС

Материал из eSyr's wiki.

Содержание 1 Пределы 2 Интегралы 3 Ряды 3.1 Гармонический ряд 3.2 Знакопеременные ряды 4 Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

Пределы

\lim(\sqrt{(n^2 + n) - n}) = \lim \frac{(\sqrt{(n^2 + n)} - n)(\sqrt{(n^2 + n)} + n)}{\sqrt{(n^2 + n)} + n} = \lim \fraq{n}{\sqrt{n^2 - n}}

Интегралы

Считаем используя правило:

f = log⁵(x)

dg = dx

Ряды

Гармонический ряд

Доказать расходимость гармонического ряда:

Покажем по Критерию Коши:

Не выполняется, если взять

Так как критерий Коши это необходимое и достаточное условие, то делаем вывод о расходимости ряда.

Знакопеременные ряды

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Здесь можно воспользоваться признаком Лейбница, который говорит, что ряд если a_n = ( − 1)ⁿb_n,a_n > = 0 и b_n монотонно стремится к 0, начиная с некоторого номера n₀, то ряд сходится

Последовательность монотонно стремится к 0, поэтому по признаку Лейбница сходится.

Но модуль этого ряда -- это гармонический ряд (то есть расходится). Поэтому сходимость исследуемого ряда условная.

Решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

y^''' + 2y''' − y^' − 2y = 0 (1)

Решение этого уравнения ищется в виде y = e^λt

Подставляем этот y в уравнение (1), сокращаем на e^λt. Получаем характеристическое уравнение:

λ³ + 2 * λ² − λ − 2 = 0

Находим корни этого уравнения: λ = 1,λ = 2,λ = − 1

y₁ = e^t,

y₂ = e^2t,

y₃ = e ^{− t}

Решение уравнения (1) -- это линейная комбинация y_i,i = 1,2,3:

y = C₁y₁ + C₂y₂ + C₃y₃