Численные Методы, задачи на лекциях
Материал из eSyr's wiki.
Содержание |
[править] Лекция 2
[править] Задача 1
Показать, что для реализации (вычисления) по формулам (3), (4) требуется точно такое же число действий: 
.
[править] !!! Решение
| Шаг | Действие | Количество действий на один элемент | Итоговое количество действий | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Вычитание | Умножение | Деление | Вычитание | Умножение | Деление | ||
| 1: c1 | b11 = a11 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| c1j = a1j/b11, j = 1…m | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | m | |
| 2: b1T | bi1 = ai1, i = 1…m | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3: c2 | b22 = a22 − b21 × c12 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| c2j = (a2j − b21×c1j)/b22, j = 2…m | 1 | 1 | 1 | m − 1 | m − 1 | m − 1 | |
| 4: b2T | bi2 = ai2 − bi1×c12, i = 2…m | 1 | 1 | 0 | m − 1 | m − 1 | 0 |
| (2k − 1): ck | bkk = akk − Σl = 1k − 1 bkl×clk | 1 | k − 1 | 0 | 1 | k − 1 | 0 |
| ckj = (akj − Σl = 1k − 1 bkl×clj)/bii, j = k + 1…m | 1 | k − 1 | 1 | m − k + 1 | (k − 1) × (m − k + 1) | m − k + 1 | |
| 2k: bkT | bik = aik − Σl = 1k + 1 bil×clk, i = k + 1…m | 1 | k − 1 | 0 | m − k + 1 | (k − 1) × (m − k + 1) | 0 |
| Итого | ∑k = 2m1 + 2∑k = 2m(m − k + 1) = (2m + 1)(m − 1)/2 | ∑k = 2m(k − 1) + 2∑k = 2m((k − 1) × (m − k − 1)) = (2m + 1)m(m − 1)/2 | ∑k = 1m(m − k + 1) = (m + 1)m/2 | ||||
[править] Задача 2
Показать, что ∑j = 1m((m − j + 1)(m − j + 2)/2) = m(m+1)(m+2)/6
[править] Решение:
Докажем это по индукции.
Для m = 1 утверждение истинно.
Пусть для m = k:
∑j = 1k((k − j + 1)(k − j + 2)/2) = k(k+1)(k+2)/6
Тогда для m = k + 1:
∑j = 1k + 1((k − j + 2)(k − j + 3)/2) = (k + 2)(k + 1)/2 + ∑j = 1k((k − j + 1)(k − j + 2)/2) = (k + 2)(k + 1)/2 + k(k + 1)(k + 2)/6 = (k + 2)(k + 1)(k + 3)/6
[править] Лекция 4
[править] Задача 3
H — вещественный, D > 0. Показать, что ((D + D*)/2 × x, x) = (Dx, x), (D+D*)/2 > 0.
[править] Решение:
(0.5 (D+D*) x, x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 D* x, x) ={D**=D}= (0.5 Dx, x) + 0.5(x, D x) = (0.5 Dx, x) + (0.5 Dx, x) = (Dx, x)
Вещественность пространства нужна для коммутативности скалярного произведения.
[править] Задача 3,5
С>0. Доказать, что существует σ>0: (Cx, x) >= σ||x||2. (Это легко доказать, для самосопряженной матрицы, но здесь это не дано).
[править] Задача 4
Доказать, что если A = A* > 0 ⇒ aii > 0, i = 1…m
[править] Лекция 7
[править] Задача 5
Показать, что λ1 = limn → ∞ (xn(i)/xn + 1(i)), i = 1…m
[править] Задача 6
Показать, что λ1(n) − λ1 = O(λ1/λ2).
[править] Задача 7
Когда λl = limn → ∞ (α + xn(i)/xn + 1(i))
[править] Лекция 9
[править] Задача 8
Пусть C = B × A, B — ВПТФ, A — ВТФ. Доказать, что C — ВПТФ.
[править] Решение
cij = ∑k = 1m bik a kj = {akj = 0, k > j} = ∑k = 1j bik a kj = {bik = 0, k<i−1} = ∑k = i−1j bik a kj
при i > j + 1 cij = 0. Следовательно С - ВПТФ.
[править] Лекция 11
[править] Задача 9
Показать, что Интеграл от 0 до 1 t(t − 1/2)2(1 − t)dt = 1/120
